在以上基数性质中:
1,若a为第1,3,7类序数。
则阿列夫a都是正则基数。
2,若a为4,5,8类基数。
则阿列夫a都是奇异基数。
不可达基数都是满足a→阿列夫a的不动点。a→第a个阿列夫不动点的不动点。
设想,若正则基数能在k里面形成无界闭集,那么k有多大呢?
1,首先k不可能是第一个不可达基数。
在不可达基数内,取基数点,阿列夫零,阿列夫一,阿列夫二,……阿列夫ω,阿列夫ω+1,阿列夫ω+2,……阿列夫2ω,……,阿列夫3ω,……
然后取极限点,阿列夫ω,阿列夫2ω,阿列夫3ω,……阿列夫ω^2,阿列夫ω^2+ω,阿列夫ω^2+2ω,……
再取极限点,阿列夫ω,阿列夫ω^2,阿列夫ω^3,阿列夫ω^4,……阿列夫ω^ω,阿列夫ω^(ω+1),……
再取极限点,阿列夫ω,阿列夫ω^ω,阿列夫ω^ω^ω,……阿列夫ε0,……
可以看出,在第一个不可达基数k内,正则基数不能形成无界闭集,但奇异基数可以形成无界闭集。因为正则基数在第一次取极限点的时候就已经全部都被筛掉了,如果还有正则基数的话,那么k就不是最小的不可达基数。很显然,在第一个不可达基数内,所有的极限基数(除阿列夫零)都是奇异基数。
然而,可以知道,k是第2个,第3个,甚至是第k个不可达基数,也不可能使正则基数形成无界闭集。使正则基数形成驻集就相当于使不可达基数形成驻集。
因为不可达基数是正则基数,所以第ω个不可达基数≠sup{x∈ω|第x个不可达基数},第阿列夫一个不可达基数≠sup{x∈阿列夫一|第x个不可达基数},因为后者都是奇异基数,第极限序数个不可达基数要在这些集合堆叠之外。同时,不可达基数的极限点不是第ω个不可达基数,也不是第不可达基数个不可达基数,而是k是第k个不可达基数。
如果不可达基数在k里面形成驻集,那么这个k不可能能从不可达计算器通过变换而到达。因为这样就说明k能在某不可达变换中到达,不可达基数就不能在k里面构成驻集了。随着k越来越大,正则基数越发越稀疏,不可达基数之间的距离远比后继基数之间的大。
然而,不可达基数在k中形成驻集中的基数k,仅仅是第四阶层的起步罢。