转文棘齿系统与二类永动机 
(2019-05-31 15:14:31)[]
棘齿系统棘齿系统热力学平衡的破坏和某种对称性的破缺。在热力学平衡态下，外力总效果为零的系统出现定向运动意味着第二类永动机(单源热机)，违反了热力学第二定律。在实际应用中，热力学平衡的破坏往往通过加驱动或噪声来实现。不满足反演对称性的周期势在物理学中称为棘齿势。棘齿势在研究定向输运问题中被广泛应用，它满足产生定向输运的第二个条件——对称性破缺。能够产生定向输运的系统在物理上称为棘齿系统，在生物上称为分子马达。概念编辑棘齿系统(分子马达)的研究，最早源自于热力学中有关第二类永动机问题的争论。棘齿系统能够从涨落(噪声)或非定向驱动中吸收能量并将之转化为定向运动的能量(做功)。因此早期的棘齿系统往往有噪声存在。后来人们发现，在缺少噪声的情况下仍有可能存在定向输运(确定性棘齿)。由于计算量的原因，一开始人们研究的大多是比较简单的过阻尼系统。后来随着计算技术的发展，对非过阻尼系统(惯性棘齿)的研究逐渐丰富起来。确定性惯性棘齿系统的定向输运编辑研究背景
图1 无量纲周期棘齿势定向输运问题一直受到物理、生物等诸多领域的密切关注。一般的定向输运的特点是：产生定向输运需要一个空间上的定向外场，或者说需要受到平均效果在某一方向上不为零的力的驱动。这种定向输运的研究已经进行了很长时间并且相对成熟，现象为大多数人所熟知和了解，其机制和结论也很容易理解。另外一种机制的定向输运受到了广泛的关注：系统受到的外力的总效果为零，即受力没有任何的偏向却出现了沿某一方向的定向输运现象。研究的结果表明，这样的系统需要满足两个条件：热力学平衡的破坏和某种对称性的破缺。关于棘齿系统(分子马达)的研究，最早源自于热力学中有关第二类永动机问题的争论。棘齿系统能够从涨落(噪声)或非定向驱动中吸收能量并将之转化为定向运动的能量(做功)。因此早期的棘齿系统往往有噪声存在。后来人们发
图2 (a)相应于参数a的分叉图，(b)定向流J现，在缺少噪声的情况下仍有可能存在定向输运(确定性棘齿)。由于计算量的原因，一开始人们研究的大多是比较简单的过阻尼系统。后来随着计算技术的发展，对非过阻尼系统(惯性棘齿)的研究逐渐丰富起来。在2000年墨西哥的Mateos在国际物理刊物《物理评论快报》(Physical Review Letters)发表了一篇名为《确定性棘齿系统中的混沌输运和反向流》的文章 [1] ，接着意大利的Barbi和Salerno在Physical Review E中对Mateos的结论提出了不同的看法。在这篇文章中，我们将使用他们的模型，研究对比相同形状但高度不同的确定性惯性棘齿下的定向输运。模型考虑一维情况，在一般阻尼下，处于非对称周期势中的单粒子在周期外力驱动下的运动。无量纲化之后的粒子的动力学方程为
上式中，b是摩擦系数，ω是驱动的频率，a是驱动的振幅。非对称周期势定义为
在本文中，δ取两个值：δ1=sin(2πx0)+sin(4πx0)=1.614，δ2=sin(2πx0)+sin(4πx0)4 =1.101。x0=-0.19使得势在x =0位置有一个势能最低点，C=0.0173使得当δ=δ1时势能最低点V(0)=0，见图1。在第一个方程中有3个无量纲参量：a，b和ω。在本文中，我们将在不同
图3 (a)a =0.074(正向流)，(b)a=0.081(反向流)的参数a下对粒子的运动进行比较，而把参数b和ω固定，b=0.1，ω=0.67，δ=δ1是参考文献 [1] 所采用的模型。在不同参数下粒子的运动可能是周期的也可能是混沌的。研究混沌运动的粒子的平均速度有两种方法，一种是长时平均，一种是系综平均。本文采用的是第一种方法，长时平均
本文的数值模拟使用四阶龙格-库塔方法接常微分方程，积分步长为Tω/1000，其中Tω为外加驱动周期Tω=2π/ω。数值结果参考文献 [1] 研究了δ=δ1，a∈[0.073，0.086]粒子的定向流和相应的分叉
图4 (a)相应于参数a的分叉图，(b)定向流J和a的关系图(图2)。该文的作者发现了沿正方向运动的周期二轨道，见图3(a)，和沿反方向运动(逆向流)的周期四轨道，见图3(b)。作者计算了δ=δ2，a∈[0.073，0.086]粒子的运动，发现虽然两者的棘齿势只有高度的差别，但是在同样参数下粒子的运动却有很大的差别，见图4。当δ=δ1，a=0.074出现的正向流和a=0.081出现的反向流，在δ=δ2的情况下消失不见。原来图2中明显的倍周期分叉现象也没有了。后来我们仔细研究了a=0.074和0.081时粒子的运动，发现从某些初值出发的暂态过程经历了类似的周期定向运动，而后才到达不动的周期振荡解。由此可以判断，原来δ=δ1，a=0.074时存在的稳定的沿正方向运动的周期二解和a=0.081时存在的稳定的沿反方向运动的周期四解，当δ=δ2时失稳，取而代之的是稳定的不动的周期振荡解。在a∈[0.07601，0.07955]，系统同时存在两个稳定的周期解，沿正方向运动的周期二解和不动的周期振荡解。粒子从不同的初始条件出发会落到不同的周期轨道上。 [2] 棘齿系统中的周期吸引子共存现象编辑研究背景棘齿系统中的定向输运现象引起了广泛的关注。棘齿系统定向输运研究的是在外力总效果为零(甚至没有外力)时产生定向输运的可能性与机制。其在诸多领域中皆有应用，像生物领域中的分子马达，粒子分离，以及量子领域中的棘齿效应等。最早人们希望从噪声中提取有用的功。后来人们发现没有噪声的情况下定向输运仍然可能发生。在考虑粒子惯性的情况下，确定性棘齿系统表现出复杂的动力学，甚至确定性混沌可以在一定程度上扮演噪声的角色。定向输运的方向一般由棘齿系统的非对称性决定，因而有其特定的自然方向。但是，人们又发现一些特定系统参数下，定向输运的方向并不是自然方向，即流发生了反转(current reversal)。流反转是一个很有趣并且值得讨论的事情。为了研究它，人们做了很多工作，但其内在的机制一直没被发现。研究进展文献 [1] 指出了系统不仅存在混沌吸引子，也存在周期吸引子，并且
图5 定向流随驱动振幅a的变化指出了在特定参数下周期通向混沌的道路是通过分岔实现的，与此同时流发生了逆转，文献 [3] 在更大参数范围内对系统进行了模拟，结果表明流逆转的同时分岔并不一定发生。作者在此基础上的研究发现相同参数下两个周期吸引子可以共存，并提出流反转是由于不同周期吸引子的稳定性引起的。本文则是在文献 [3] 的基础上，对系统随参数a的变化进行了更加细致的研究。图5中我们画出了不同振幅a驱动下系统从不同初始条件出发可能出现的定向流的值，从图中可以看到，在一个很小的参数范围内，系统先后经历了多种周期吸引子存在状态。当a∈[1.27，1.274]，系统只存在1个J =-vω的周
图6 a=1.276时系统中同时存在3个周期吸引子期吸引子；a =1.275，系统中J=-vω与J=0两个周期吸引子共存；a∈[1.276，1.282]，系统中J=±vω与J =0，3个周期吸引子同时存在；a∈[1.283，1.30]，系统中J=±vω两个周期吸引子共存。3个吸引子共存的现象是文献没有提及的。在图6中我们画出了a=1.275时系统同时存在的3个吸引子的轨迹。图中背景为未受扰动时系统的相图，灰色线即为等能线。黑色圆圈描述了J=0的轨道，可以看到粒子在驱动下先向右越过6个棘齿势周期，接着向左越过6个棘齿势周期回到原来的地方。蓝色右三角描述了J=vω的轨道，粒子先向右运动
图7 图6中的3个周期吸引子的轨道 随时间变化的3维示意图(3张) 越过6个棘齿势周期，接着向左运动5个棘齿势周期，从而在一个驱动周期内实现了向右运动1个棘齿势周期。红色左三角描述的J=-vω轨道则刚好相反，粒子先向右运动了5个棘齿势周期，接着向左运动6个棘齿势周期，从而每个驱动周期粒子将向左运动1个棘齿势周期。为了更清楚地观察这3个周期吸引子，我们画出了它们的轨道随时间变化的3维示意图，见图7。图中，z轴为时间。可以很清楚地看到，3个吸引子都是周期1的。此外，就如图6和7中所表现的，3个吸引子靠得很近。也就是不需要太大的扰动就可以将系统从一个周期吸引子轨道上驱动到另一个周期吸引子轨道上。比如，当初始速度固定为零，初始位置分别为0.24，0.25和0.26，则系统将分别进入J=0，J=-vω和J=vω的周期轨道上，即图7中的(a)，(c)和(b)。研究结论我们研究了一个确定性欠阻尼棘齿系统，在系统中不仅两个周期吸引子可以共存，甚至3个周期吸引子也可以同时存在。我们刻画了系统共存的3个吸引子的轨道，并指出它们之间的距离比较近，系统比较容易受到扰动而从一个周期轨道跑到另一个轨道上。 [4]
(2019-05-31 15:14:31)[]棘齿系统棘齿系统热力学平衡的破坏和某种对称性的破缺。在热力学平衡态下，外力总效果为零的系统出现定向运动意味着第二类永动机(单源热机)，违反了热力学第二定律。在实际应用中，热力学平衡的破坏往往通过加驱动或噪声来实现。不满足反演对称性的周期势在物理学中称为棘齿势。棘齿势在研究定向输运问题中被广泛应用，它满足产生定向输运的第二个条件——对称性破缺。能够产生定向输运的系统在物理上称为棘齿系统，在生物上称为分子马达。概念编辑棘齿系统(分子马达)的研究，最早源自于热力学中有关第二类永动机问题的争论。棘齿系统能够从涨落(噪声)或非定向驱动中吸收能量并将之转化为定向运动的能量(做功)。因此早期的棘齿系统往往有噪声存在。后来人们发现，在缺少噪声的情况下仍有可能存在定向输运(确定性棘齿)。由于计算量的原因，一开始人们研究的大多是比较简单的过阻尼系统。后来随着计算技术的发展，对非过阻尼系统(惯性棘齿)的研究逐渐丰富起来。确定性惯性棘齿系统的定向输运编辑研究背景
图1 无量纲周期棘齿势定向输运问题一直受到物理、生物等诸多领域的密切关注。一般的定向输运的特点是：产生定向输运需要一个空间上的定向外场，或者说需要受到平均效果在某一方向上不为零的力的驱动。这种定向输运的研究已经进行了很长时间并且相对成熟，现象为大多数人所熟知和了解，其机制和结论也很容易理解。另外一种机制的定向输运受到了广泛的关注：系统受到的外力的总效果为零，即受力没有任何的偏向却出现了沿某一方向的定向输运现象。研究的结果表明，这样的系统需要满足两个条件：热力学平衡的破坏和某种对称性的破缺。关于棘齿系统(分子马达)的研究，最早源自于热力学中有关第二类永动机问题的争论。棘齿系统能够从涨落(噪声)或非定向驱动中吸收能量并将之转化为定向运动的能量(做功)。因此早期的棘齿系统往往有噪声存在。后来人们发
图2 (a)相应于参数a的分叉图，(b)定向流J现，在缺少噪声的情况下仍有可能存在定向输运(确定性棘齿)。由于计算量的原因，一开始人们研究的大多是比较简单的过阻尼系统。后来随着计算技术的发展，对非过阻尼系统(惯性棘齿)的研究逐渐丰富起来。在2000年墨西哥的Mateos在国际物理刊物《物理评论快报》(Physical Review Letters)发表了一篇名为《确定性棘齿系统中的混沌输运和反向流》的文章 [1] ，接着意大利的Barbi和Salerno在Physical Review E中对Mateos的结论提出了不同的看法。在这篇文章中，我们将使用他们的模型，研究对比相同形状但高度不同的确定性惯性棘齿下的定向输运。模型考虑一维情况，在一般阻尼下，处于非对称周期势中的单粒子在周期外力驱动下的运动。无量纲化之后的粒子的动力学方程为
上式中，b是摩擦系数，ω是驱动的频率，a是驱动的振幅。非对称周期势定义为
在本文中，δ取两个值：δ1=sin(2πx0)+sin(4πx0)=1.614，δ2=sin(2πx0)+sin(4πx0)4 =1.101。x0=-0.19使得势在x =0位置有一个势能最低点，C=0.0173使得当δ=δ1时势能最低点V(0)=0，见图1。在第一个方程中有3个无量纲参量：a，b和ω。在本文中，我们将在不同
图3 (a)a =0.074(正向流)，(b)a=0.081(反向流)的参数a下对粒子的运动进行比较，而把参数b和ω固定，b=0.1，ω=0.67，δ=δ1是参考文献 [1] 所采用的模型。在不同参数下粒子的运动可能是周期的也可能是混沌的。研究混沌运动的粒子的平均速度有两种方法，一种是长时平均，一种是系综平均。本文采用的是第一种方法，长时平均
本文的数值模拟使用四阶龙格-库塔方法接常微分方程，积分步长为Tω/1000，其中Tω为外加驱动周期Tω=2π/ω。数值结果参考文献 [1] 研究了δ=δ1，a∈[0.073，0.086]粒子的定向流和相应的分叉
图4 (a)相应于参数a的分叉图，(b)定向流J和a的关系图(图2)。该文的作者发现了沿正方向运动的周期二轨道，见图3(a)，和沿反方向运动(逆向流)的周期四轨道，见图3(b)。作者计算了δ=δ2，a∈[0.073，0.086]粒子的运动，发现虽然两者的棘齿势只有高度的差别，但是在同样参数下粒子的运动却有很大的差别，见图4。当δ=δ1，a=0.074出现的正向流和a=0.081出现的反向流，在δ=δ2的情况下消失不见。原来图2中明显的倍周期分叉现象也没有了。后来我们仔细研究了a=0.074和0.081时粒子的运动，发现从某些初值出发的暂态过程经历了类似的周期定向运动，而后才到达不动的周期振荡解。由此可以判断，原来δ=δ1，a=0.074时存在的稳定的沿正方向运动的周期二解和a=0.081时存在的稳定的沿反方向运动的周期四解，当δ=δ2时失稳，取而代之的是稳定的不动的周期振荡解。在a∈[0.07601，0.07955]，系统同时存在两个稳定的周期解，沿正方向运动的周期二解和不动的周期振荡解。粒子从不同的初始条件出发会落到不同的周期轨道上。 [2] 棘齿系统中的周期吸引子共存现象编辑研究背景棘齿系统中的定向输运现象引起了广泛的关注。棘齿系统定向输运研究的是在外力总效果为零(甚至没有外力)时产生定向输运的可能性与机制。其在诸多领域中皆有应用，像生物领域中的分子马达，粒子分离，以及量子领域中的棘齿效应等。最早人们希望从噪声中提取有用的功。后来人们发现没有噪声的情况下定向输运仍然可能发生。在考虑粒子惯性的情况下，确定性棘齿系统表现出复杂的动力学，甚至确定性混沌可以在一定程度上扮演噪声的角色。定向输运的方向一般由棘齿系统的非对称性决定，因而有其特定的自然方向。但是，人们又发现一些特定系统参数下，定向输运的方向并不是自然方向，即流发生了反转(current reversal)。流反转是一个很有趣并且值得讨论的事情。为了研究它，人们做了很多工作，但其内在的机制一直没被发现。研究进展文献 [1] 指出了系统不仅存在混沌吸引子，也存在周期吸引子，并且
图5 定向流随驱动振幅a的变化指出了在特定参数下周期通向混沌的道路是通过分岔实现的，与此同时流发生了逆转，文献 [3] 在更大参数范围内对系统进行了模拟，结果表明流逆转的同时分岔并不一定发生。作者在此基础上的研究发现相同参数下两个周期吸引子可以共存，并提出流反转是由于不同周期吸引子的稳定性引起的。本文则是在文献 [3] 的基础上，对系统随参数a的变化进行了更加细致的研究。图5中我们画出了不同振幅a驱动下系统从不同初始条件出发可能出现的定向流的值，从图中可以看到，在一个很小的参数范围内，系统先后经历了多种周期吸引子存在状态。当a∈[1.27，1.274]，系统只存在1个J =-vω的周
图6 a=1.276时系统中同时存在3个周期吸引子期吸引子；a =1.275，系统中J=-vω与J=0两个周期吸引子共存；a∈[1.276，1.282]，系统中J=±vω与J =0，3个周期吸引子同时存在；a∈[1.283，1.30]，系统中J=±vω两个周期吸引子共存。3个吸引子共存的现象是文献没有提及的。在图6中我们画出了a=1.275时系统同时存在的3个吸引子的轨迹。图中背景为未受扰动时系统的相图，灰色线即为等能线。黑色圆圈描述了J=0的轨道，可以看到粒子在驱动下先向右越过6个棘齿势周期，接着向左越过6个棘齿势周期回到原来的地方。蓝色右三角描述了J=vω的轨道，粒子先向右运动
图7 图6中的3个周期吸引子的轨道 随时间变化的3维示意图(3张) 越过6个棘齿势周期，接着向左运动5个棘齿势周期，从而在一个驱动周期内实现了向右运动1个棘齿势周期。红色左三角描述的J=-vω轨道则刚好相反，粒子先向右运动了5个棘齿势周期，接着向左运动6个棘齿势周期，从而每个驱动周期粒子将向左运动1个棘齿势周期。为了更清楚地观察这3个周期吸引子，我们画出了它们的轨道随时间变化的3维示意图，见图7。图中，z轴为时间。可以很清楚地看到，3个吸引子都是周期1的。此外，就如图6和7中所表现的，3个吸引子靠得很近。也就是不需要太大的扰动就可以将系统从一个周期吸引子轨道上驱动到另一个周期吸引子轨道上。比如，当初始速度固定为零，初始位置分别为0.24，0.25和0.26，则系统将分别进入J=0，J=-vω和J=vω的周期轨道上，即图7中的(a)，(c)和(b)。研究结论我们研究了一个确定性欠阻尼棘齿系统，在系统中不仅两个周期吸引子可以共存，甚至3个周期吸引子也可以同时存在。我们刻画了系统共存的3个吸引子的轨道，并指出它们之间的距离比较近，系统比较容易受到扰动而从一个周期轨道跑到另一个轨道上。 [4]
