而根据三倍角的余弦公式，一般的三等分角问题能转化为一个不可约的三次方程的求根问题，从而这个根不可能通过二次扩张塔得到。同理，倍立方问题对应数的是三次根号二，这个数也不能通过二次扩张塔得到，而化圆为方问题中的根号pi甚至是超越数，不能通过代数扩张得到，因而这三大问题都是没有一般的尺规作图方法的

从Q的域扩张的角度去看无理数是一个角度，从实数系的构造是另一个角度，把无理数看作是有理数在实数集中的补集。而实数系的严格构造是数学系学生刚上大学时就要学习的内容， 而这套理论则是到了19世纪最后三十年才完全建立起来的，距离毕达哥拉斯的时代已经过了两千多年

而有理数虽然从基数上说是可数的，比连续统的实数“少了”很多，但是它在实数中实际上是稠密的，简单地说就是任何一个实数都可以由有理数“逼近”得到。所以毕达哥拉斯那个时代所研究的“秩序”的有理数虽然只是实数中的很小一部分，但是它们实际上是可以“逼近”所有“混沌”的无理数的！

初次之外几何的内容还介绍了五种正多面体和莫比乌斯带（都是因为伊奥的登场啦）。正多面体只有五种（正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体 ，正二十面体）是欧几里得的《几何原本》的最后一个定理，利用欧拉公式V+F-E=2通过讨论面和顶点的度可以给出一个图论的证明。比较有趣的证明是考虑三维欧式空间的第一类正交变换群SO（3）的有限子群，通过讨论群作用的轨道和迷向子群得到除了有限循环群和二面体群，只有四阶交错群，四阶置换群，五阶交错群是SO（3）的有限子群，四阶交错群正是正四面体的对称群（不改变图形在空间中相对位置的变换所构成的群），四阶置换群正是正四面体和正八面体的对称群，五阶交错群正是正十二面体和正二十面体的对称群，从而从群和对称的角度得到了所有的正多面体。

从群的角度看这几种正多面体还可以得到正二十面体和正十二面体的对称性实际上是一样的，强于其他三种，正八面体和正六面体的对称性实际上也是相同的，强于正四面体

另外一个莫比乌斯带则是不可嵌入三维空间的二维不可定向紧致流形，类似的比较著名的例子还有克莱因瓶和射影平面，在拓扑学中我们常用正方形来表示它们，即在正方形的边上给出定向，然后按照定向把正方形粘起来就可以得到这些空间----只不过这些空间在三维是看不到的

此外记得好像是第九册最后有一个章鱼解决一个国际象棋盘去掉两相对的角然后用两个格子大小的小长方形布条覆盖这个棋盘面的问题，后来我在图论作业里面再次遇到了这个问题。在学过一点点点图论之后，就知道了这实际上是一个二部图的完美匹配的问题，而在棋盘的格子为顶点，相邻格子直接连一条边构成的二部图中二分划的两部分的顶点个数不同，这导致它不可能有完美匹配，因而不存在这样的覆盖方式。不过在漫画中这个问题的答案和做法倒是次要的，主要是在这里我第一次看见了“不要盲目寻找解法，数学中最重要的是证明！”实际上“证明”在初中学平面几何之前，在小学的数学教育中是没有被怎么提到过的概念，在这里也是我第一次知道“证明”是什么意思。

无理数虽然是“有穷”的数 但是无理数里面也蕴含着无穷性。到了第十册便是要讨论著名的无理数，也是超越数，圆周率pi了。pi是无理数的证明微积分的知识已经足够，而pi是超越数的证明则复杂很多，是1882年Lindemann给出的。不过在这套漫画里面主要是叙述了人类求圆周率的历史。让小时候的我比较惊讶的是实际上书上所印刷的圆甚至都不是标准的圆，而是边数很大的正多边形，标准的圆实际上是画不出来的。不过在这里也是我第一次接触极限和逼近的思想，不断增加正多边形的边数，趋于无穷大，最后的极限情况便是圆，（这也是加加梅修的攻击力）可以用正多边形逼近圆从而估计pi的值（这里实际上蕴含着n*sin(pi/n）在n趋于无穷时极限是pi，这是微积分中非常重要和基本的一个极限）。另外一个给小时候的我比较大的震撼的，就是美娜成为超越之光之前说的话

大概意思是虽然现实中不存在完美的圆，但是由于人们给了圆数学上的定义，有了“圆”这个抽象的概念，在人们思维中便存在完美的圆，人们虽然不可能通过现实的测算精确地测量出pi，但是人们可以在思维的抽象上不断接近pi的！只要有了抽象的概念，人们便可以通过思维去探索现实中实际上不存在的东西，这里便道出了数学中抽象的威力

现代数学的一大特征就是抽象，基本上每个学科分支都是在做从一些概念和公理出发推理其他概念和定理，结论的事情，完全脱离了现实存在，只存在于人的思维当中。而抽象的威力在于剥离研究对象中无关的因素，揭示本质，在于因为理论足够抽象，所以应用足够广泛 在于通过数学抽象可以探索很多人们直观上不可想象，感官上无法感知，但是在概念上确实存在的东西（例如高维空间，抽象的代数结构（群，环，模，域，代数等等）一般空间上的拓扑结构，抽象空间上的算子和泛函，抽象测度等等）

我的妈呀

我是一名沿海211的大三学生，我也是在大二后开始重温这部三年级时候看过的漫画。无穷与极限的概念令我记忆深刻。楼主写的太好了

美娜成为超越之光这个过程实际上和她之前说的圆的概念的抽象化是一致的，美娜超越了作为人类的现实存在， 成为抽象的“超越之光”，我想这可能是对应着数学抽象。只有抽象化的数学才能揭示，刻画无穷和极限等概念。美娜成为超越之光，才能更加接近无限魔王的真相。