如图，一个微分方程加一个边界条件，可以解出这个微分方程的解Xn=sin n*pi*x/l，n=1,2,3….
同时，这些解也是完备的基底，在(0,l)上任意分段光滑的函数均可以用这些解做广义傅立叶级数展开，例如图中最下面一行，就是用x^2在(0,l)上做展开，注意这里是包含边界的，所以也不讨论边界。
但是问题来了，首先作为原方程的解，这些基底肯定都是满足方程1的，因此基底无论如何怎么做加和，结果肯定依旧是满足方程1的，但是x^2显然是不满足方程1的，那这最后一行又是如何做到严格相等的呢？总不能说是有限项的基底加和满足方程1但是无限项加和就不满足了吧