求大佬指正

各位大佬，问一下什么函数在一个开区间内连续切可导，并且但是导函数不连续？？？？？
如果这样的函数存在的话，在这个不连续的点左右两侧导数不同，则原函数在这个点不可导
如果不存在的话，为什么要单独定义一个连续可导函数呢？