基于最近见到不少“洋人月亮比中国圆系列”的发言，比如有神人说某洋枪洋弹精度标准比国产、苏联（俄）高三四倍……
在此我打算从理论层面证明散布密集界、概率偏差（公算偏差）、散布圆直径、R50、R100、MR等指标之间的数量关系。。。以正视听。

以上分别为M855，M193，56步机弹和10弹的验收指标。
很显然，就指标而言，同等距离下洋弹不仅没有优势，反而还不及国产的56和10弹。

前面的几个精度指标的涵义我已经说过无数遍，故不做重复，本文不供射弹散布初学者鉴赏。
散布密集界、概率偏差、R50、MR、ES的定义什么的，真正还有搞不懂的，一查教材便知。
无论是理论上还是实际，教材给我们的几个公式有：
R50=0.57散布密集界、R50=1.75概率偏差、散布密集界=3.07概率偏差
MR=1.06R50
我曾经算过几十张靶纸、山人更是统计几千个样本证明理论成果，然而有人就是不信邪，没办法我只能勉为其难地理论论证一下。。

射弹散布符合正态分布是基本常识，而且近距离下高低及方向散布普遍差别不大，符合瑞利分布。
我们来用正态分布的目光来审视下射弹散布，不过先假设射弹由固定架冷膛发射，目的是保证一致性。
鉴于鄙人初中数学书已经找不到了，我们就打开“万能的百度”来看看图像的情况：


额，和射弹散布之间联想一下，有没有人觉的分成的这6段很眼熟？
既然射弹散布符合正态分布，那现在我们要求（μ-σ，μ+σ）至区间包含的射弹概率，看看这是个什么东西。

根据正态分布的累计分布函数，很容易就能解析出某区间含有的概率。

用睾等数学能表达出 [μ-σ，μ+σ] 区间的概率，因为射弹散布x，y（高低，方向）轴线是以平均弹着点作为原点的，故μ=0。
当然，上述运算可以简化为：

理论上用牛顿莱布尼茨公式就能求出概率，不过很遗憾。。
因为显然的，型函数不可积，倒是可通过泰勒级数、数值积分等方法近似求解。
鄙人一向不喜欢麻烦，我们来看看运算到倒数第二步那个f（x）=e^(-t^2)的图像：

求出它在 [0，0.5*2^0.5]区间上的面积，再乘上2/(Pi^0.5)即可。

用面积容易估测概率在（1+0.606531）/2*0.7071*1.1284——0.882497/2*0.7071*1.1284之间，即0.640913~0.704131之间，略大于两数的平均值，即略大于0.6725。其实将图像进一步切割，所得的数据更为精确，不错没有必要，因为我可以查表或用计算机直接运算。。
查“百度文库”可得：

精度太低不符合我的要求。
计算机求解得：

盗贴！该当何罪！！！

也就是说，散布轴线两侧，±σ的散布界上包含全部射弹的68.2689491%。
我老早就说过，这个散布区域就是散布密集界，也就是散布密集界=2σ。不过，68.3%很不方便，实际取70%作为散布密集界。

现在回过头再看正态分布图像，感悟会再次加深：

靠！这不就是全散布=3倍散布密集界嘛。。。。。。。

同样的，运用上述研究成果。
R50/C=1.17741002/2.07286776=0.568010，故R50=0.57散布密集界得以证明。
现在将目光转向二维，研究整个散布面的情况，包含高低和方向维度。预期证明为什么R100=2.5-3R50。
在论射表、射效矫正和国产轻武器精度考核一文中，我已经证明了：

其中r为要求的散布圆半径，P为概率。将2.5R50和3R50代入其中可得：

正态分布告诉我们，全散布是没有意义的，这个“全”取的越大，散布面就越大。然而实际操作一般将极小概率射弹剔除，即认为散布是有极限的，取个99+%的概率足以表述全散布。R100=2.5~3R50说明的是2.5~3倍R50为半径的圆包含了全部射弹的98.7~99.8%。教材中环靶的命中公算表也给出了相同的结果，不过精度太差了

同理，R100=2.5~3MR，因为2.5~3倍MR为半径的圆包含了全部射弹的99.3~99.9%。
即“全散布”=5~6倍R50或MR。

当散布圆半径R=MR时，该圆包含54.4%的命中概率。用国标那种通俗易懂的方法，MR=R54，当然数量关系符合，但是两者涵义是完全不同的。
2倍的MR，也就是以MR为半径构成的散布圆直径，被称之为MD（Mean Diameter），即MD=2MR。Mean Diameter也是一个很坑的单位，“平均散布直径”比“平均散布半径”坑的更不留痕迹，有多少人以为Mean Diameter就是几组全散布圆直径的平均值了，坑啊！其实理论和实践都证明，MD仅仅是54.4%散布圆直径。
美国佬不只是喜欢用MR，也喜欢用MD评价狙击步枪的精度，比如：

最后一项数量论证，当散布半径R=σ，2σ，3σ时，命中概率如下：

因此，全散布圆半径=3σ。

顺便说一句，西方除了有用σ度量散布以外，其实也用概率偏差（公算偏差）：



洋人的概率偏差B就是PE，Probable Error，翻译过来也是概率偏差。其大量射弹下的值与我国研究结论一致，也与我给出的证明一致，即B=0.67449σ！

以上结论均为概率、或者说是每组大量射弹下的结果。现实中射弹都是少量的，其结果会发生改变：比如随着射弹数量的锐减，全散布单位会很快变小（ES，RC，FOM，R100等），MR，R50，σ却非常的稳定。
总体上说，有限射弹下MR会偏小，这个很好理解，MR是瑞利分布下的期望值。假如以原平均弹着点作COI为少量射弹下COI考虑，MR值恒定，只是每组之间会很不稳定。但实际COI会偏心，这样MR必然偏小。
原MR已证明：

假设一组射弹数为N，有限射弹数量下的MR（n）可表述为：

也就是说MR（5）=1.1210σ，MR（10）=1.1890σ，MR（20）=1.2216σ。
此结论必将正确无误，因为鄙人也看过外国叫兽的研究成果，确定是一致的。


像美国佬验收步枪弹常用的10发组9组求平均MR，实际上测出来的就是MR(10）=1.189σ。

然而有限射弹下R50却十分稳定，确切地说，用国标的20发作图法衡量，其20发就能测出R50（20）=1.18σ。
利用二维样本（x，y），我们之前就证明出：

将其作为解析法测定公式，设一组射弹N发，则有限射弹数量下R50的期望值为：

当然也可以考虑引入瑞利修正系数：

我用计算机模拟计算的结果如下：

总的来看，解析法求出的R50略微偏小。
不考虑修正系数时，N=10，20，50的时候所求之结果与R50=1.1774σ相差为-0.0322σ、-0.0154σ、-0.006σ。
叫兽的研究成果相同：

上表50发-0.0010有误，我的计算值是-0.006。也就是说，解析法50发能取得较好的数据，误差为千分之一σ数量级。

解析法虽然麻烦的要死，算的我想吐，可是国标不用解析法。。。
毛子的头脑是富有建设性的，为啥？
因为毛标：作图求解R50，要求为“以平均弹着点为圆心做圆，使圆内外弹孔数相等，且与内外弹孔等距”。我国3靶20发（有时10发）的求解方法正是沿袭毛子的。
不得不说，这是一个伟大的方法，简单，方便，精准！！
这种标准用顺序统计量法可以列出一组n发时第i发距离平均弹着点COI的距离，导出第i个顺序统计量R（i）的概率密度，代入瑞利分布下的概率密度f（x）和分布函数F（x），即可导出数学期望。详细的证明过程我留在另外一台电脑里了不好找，现仅将结果发布如下：


如图，图片看不清请放大。。。
如图，此法的理论证明也异常复杂（但是实际操作很方便）。
可以证明，当一组射弹20发，其期望值为R50=1.1835σ，误差为+0.0061σ；
当一组射弹10发，其期望值为R50=1.1900σ，误差为+0.0126σ；
也就是说，作图测得的R50（n）略大于R50，且随着N增加，误差变的非常微小，当N=10时，获得的精度已经非常好了，N=10/20时，结果相差不大，换而言之10发或20发测得的R50是相同的，可等效考虑。
借用国内某叫兽的话：“样本容量N=20时，苏修法测得R50系统误差绝对值远小于解析法的误差绝对值，20发能取得解析法50发的精度，故苏修法是经济的近似无偏估计，是测R50的好方法”。

外国叫兽研究出的也是这样的结果：瑞利R50在全范围内都非常接近理论R50=1.1774σ，且略大于理论值。当样本容量N≥10时，期望值几乎不存在误差。
故苏联人的脑子不能以常态度之，某些方面确实是天才。。

同样，上述方法能推倒出R100，每组10发，20发，50发都行。

看到外国佬的一篇文章，数据如上。他说10发组测的R50和100发组一样准，而且标准差不大，很稳定，他认为R50是衡量密集度的最佳方法。

ES，Extreme Spread，可翻译为全散布，指的是一组射弹中距离最远的2个弹孔的中心距离。
根据维度的不同，Extreme horizontal spread指方向全散布，可以写成EHD；同理，Extreme vertical spread为高低全散布，可以写成EVD。
近距离两个维度上σ相差不大，故认为σh=σv，EHD=EVD=FOM。
ES这玩意简单明了，量量最远两点就行，可以说是最简单的散布度量方式，被国内外广泛使用。诸如著名的M16系列、G28乃至国产西湖牌5.6mm慢射运动手枪都用ES验收密集度。
说来也是奇怪，实际操作起来越复杂的散布度量单位，理论论证越简单、而实际操作起来很简单的，反而难以证明，正可谓物极必反。像ES这种简单到掉渣的东西，我探索了半天后发现常规方法无法证明。
射散布符合瑞利分布，则ES和FOM的数学表达式为：