MathCAD基础——符号关键字

在讲关键字之前，先复习下关于【符号等号】的相关内容
一、【符号等号】
（一）什么是符号等号
【符号等号】是这个样子的：
左边的黒块是一个占位符（用于标识该处应当有字符输入，具体到此处是[待计算的表达式]），旁边的符号“→”类似于我们常用来表示“推导、推出”的意思。
【符号等号】用于告诉Mathcad进行符号计算，但不限于符号计算（也可以进行数值计算）。
【符号等号】在Mathcad中是一个很关键的等号，几乎每次打开Mathcad都肯定会用到它，在使用各种关键字比如simplify(化简式子)、solve（求解方程）、expand（展开式子）等等时，都会见到【符号等号】。
（二）如何输入符号等号
符号等号通过【CTRL】+【.】输入，也可以通过使用鼠标从【符号关键字工具栏】中点击"→"输入，如下图所示。

（第一行中间那个符号是【符号关键字等号】，与【符号等号】同宗，但它的占位符是[关键字]，以后会讲到）
（三）符号等号的作用
1、普通计算
能用【求值等号】(就是"=")求解的场合，都可以用【符号等号】，如下图所示

主要的区别：
【求值等号】只会给出数值解，【符号等号】除可以给出数值解为还可以给出其他形式的解
比如：
上图中的3，两个分数相加通过符号等号得到结果是一个分数（但是小数与分数相加得到的是小数，如图中的4）
上图中的5，开根号，通过符号等号得到的是根号形式的解
上图中的6，根号与根号之间的计算，通过符号等号得到的解是化简后的根号形式
上图中的7，对于有数学常数参与的计算，通过符号等号得到的解中仍然保留数学常数。
2、用于函数的计算
有些函数是必须使用【符号等号】才能进行计算的，比如求极限、求导、求积分等。
而

3、其他方面的运用
以我当前的经验还不足以举出更多更好的例子，请其他吧友补充吧。

三、MC15[M030]内置关键字
不同版本的MC，内置关键字存在不同，以下关键字均在Mathcad15(版本M030)中通过实测。
（一）float
名称：【符号浮点计算】（知道这个名称就可以在MC帮助中进行查询）
【帮助——目录——符号和关键字——符号浮点计算】
作用：使用符号浮点进行计算，直观的现象就是，计算结果是小数
用途：
1、直接使用，显示20位有效数字的浮点结果

如图所示，当使用了float关键字后，MC将计算出数值结果来，在默认情况下，这个结果有20位有效数字。
2、显示指定精度的计算结果（带参数的float）
在float关键字后面键入逗号“,”（英文字符），然后再跟上一个【正整数】，用以指定输出结果的【有效数字位数】（不是小数位数）。例如：

这里的正整数，是float关键字的参数！许多关键字都可以带参数。
如果关键字输入不正确，MC会报错。

3、其他使用【求值等号】计算不出数值的场合
MC中【求值等号】(就是直接输入“=”)能处理的最大值是10^307，当超出这个值后，MC就不能正常计算了。
比如这个函数：

当t=71时，能够计算出f(71)的值，但是当t取72时，MC报错了“发生浮点错误”。
因为将f(72)的值超过了10^307，求值等号不能正常计算出结果。
但是可以使用float得出结果：

这个结果的数量级是10^309，【求值等号】办不到，但是【float】办得到。

（二）expand
作用：展开表达式【帮助中索引“展开表达式”】
示例：

用法：
1、直接使用
如上图所示，在表达的后面直接使用expand关键字，可以将表达式展开。
图中的3，虽然使用的【展开表达式】expand关键字，但是实现的是将三角函数进行了化简，这在MC看来是一种展开。
要注意的是，expand只会展开，不会化简，比如上图中最后一行，尽管sin²(x)+cos²(x)可以进一步化简为1，但是只使用expand的情况下，MC是不会主动继续化简的。
要使得MC一步到位将其化简，可以使用【关键字叠加】的方法，告诉MC先【展开】(expand)然后再【化简】(simplify)，就像这样：

要注意的是，expand必须在simplify的上面，因为【叠加关键字】的执行顺序是从上往下的，这也是为什么要把编辑线置于expand关键字【后面】再点击simplify的原因。
如果我们非要把simplify放到expand的前面，会出现这样的结果：

MC按照【从上往下】的顺序，先执行了【化简】simplify（而化简的结果正如上图中第二条式子），MC并不能将其简化，然后再执行【展开】expand，于是MC很勤劳地将原始展开了。
所以，使用MC并不能总是指望使用单个关键字来实现想要的效果，MC有自身的局限，使用者也有自身的局限，只有彼此扬长避短才能发挥更大的作用，况且这样灵活的组合方式能够激发更多的想象力，所以这其实算不上是MC的局限。
sin(2x)+1仍然不是最简化的式子，因为sin(2x)还可以进一步化简(如第一张图片中的3），只是化简sin(2x)这个式子需要用的关键字不是simplify，而是expand，所以，还可以再叠加一次关键字，成为这样：

对于【关键字叠加】，这里只是简单地展示一下MC里有这么一种用法，关于【关键字叠加】的详细使用留待后文讲解和其他吧友补充。
2、指定参数，不展开某些项
在expand的后面添加参数，可以使得表达式中的某些项不被展开，比如：

(1+x)作为expand的参数，在结果中得以保留。
还可以指定多个参数，彼此之间使用逗号(英文逗号）隔开，保留多个项不被展开

为什么要保留某些项不展开呢？这个得根据需要来，结合实际情况吧。

（三）factor
作用：因式分解，将表达式化为多个式子的乘积
示例：

用法：
1、直接使用
如上图所示，可以直接使用factor关键字对那些可以进行因式分解的表达式或者数字进行因式分解。
不过我没有搞明白的一点是，为何将(x+1/2)^2展开后再因式分解不能返回原有形式？

如果要得到原有形式，该怎么做呢？
对了，这里用到了在expand的展开结果中继续使用关键字的用法，在MC中，计算结果也是可以继续使用关键字的。
2、使用参数
（1）指定了参数的factor，在进行因式分解时，会将参数包含在因式分解的结果中，可以有多个参数，使用英文逗号隔开。
默认情况下，factor只会在有理数范围中进行因式分解，对于某些表达式，MC不会自动计算并分解，例如x^2-5，在有理数范围内不能进行因式分解，但是可以在实数范围内分解，只有手动给出它的解√5作为参数，factor也可以将它因式分解。
所以factor的参数并不是可以随意指定的，必须是表达式的根。
比如：

图中x^2-2在给定参数√2后，可以因式分解，因为√2是x^2-2的根，所谓“根”，即x^2-2=0的解，-√2也是x^2-2的根，所以将参数改为-√2也可行。
如何才能知道表达式的根呢，可以使用后面会讲到的solve（求解方程）关键字。
（2）除了直接将根作为参数外，还可以指定值域，将值域扩大到实数范围，像这样：

domain和real都是Mathcad中内置的一种特殊字符，在帮助中这种特殊的字符被称为【修饰符】或【修改器】(帮助——目录——符号和关键字——修饰符)。
domain的含义是“值域”，real的含义是“实数”，domain=real则表示“值域更改为实数范围”，要注意的是，这里的“=”是【逻辑等号】，不是【求值等号】，通过【CTRL】+【=】输入。
这样MC就会在实数范围内进行因式分解，而且会给出数值解。
这里又使用了【关键字叠加】，float,4的作用前面已经讲过了，用来控制输出结果中小数的有效位数个数，如果不使用它的话，会是这样的：

使用float,4关键字叠加，只是为了缩短这个式子的长度，当然这样会丢失一定的精度，毕竟√2与1.414是不相等的。
举一反三，把值域扩大到复数范围内：

（五）parfrac
作用：将有理式转换成部分分式
实际上如果不查阅资料的话，我已经忘记“部分分式”是什么了，所以感觉在讲这些时会误人子弟。
用法：
1、单个变量时不需要带参数，多个变量时，需要指明对哪个变量进行操作。

2、要操作的变量必须是有理式，否则会报错

3、同factor一样，parfrac默认值域在有理数范围内，可以用参数指明根

4、同样，可以使用domain改变值域

莫非domain的应用范围挺广的？
根据MC的帮助中“修饰符”一节显示，domain可以应用的关键字也就factor和parfrac这两个了。

如果属实的话，以后的部分也许就不会再见到“domain”了。
再见，domain。

接上一楼，把遗憾的部分补上——和差化积

图中的1展示了MC能够展开sin(A+B)和cos(A-B)之类有多个变量的表达式，但是不能展开只有单个变量的sin和cos，如图中2所示。
在这个认知上，图中的3使用了substitute关键字【替换变量】，将x替换成(A+B)/2，y替换成(A-B)/2，然后就可以得到多个变量的表达式，于是MC可以将其展开（展开），得到关于A和B的结果，最后再将A和B替换成原来的x和y。
文字很乱，看下图吧：

或者下面这个图（两个图是其实一样的）

（由于这一行比较长，缩略图会缩小，你也许需要点击图片再放大来查看）
这里要再强调以下，MC中【关键字堆叠】的执行顺序是从上往下，所以要注意关键字的上下顺序。如果改变顺序就会像下面这样：

好歹是在MC中弄出了和化积差，尽管绕了点路。
若有更简洁直接的办法，还请吧友补充。

（七）rewrite
作用：使用指定的方式转化表达式，比如将sin转换成cos，将复数形式转换成三角函数形式等等

用法：
需要将【修饰符】作为参数一起使用，可以使用的修饰符有：
acos ---------反余弦
acot ---------反余切
asin ---------反正弦
atan ---------反正切
cos ----------余弦
cosh ---------双曲余弦
cot -----------余切
coth ---------双曲余切
exp ----------指数
gamma -----伽玛
ln -------------自然对数
log----------- 以 10 为底的对数
signum -----Signum (正负号函数，这个不知道用在什么场合rewrite)
sin----------- 正弦
sincos -------正弦或余弦
sinh ---------双曲正弦
sinhcosh----双曲正弦或双曲余弦
tan ----------正切
tanh ---------双曲正切
rewrite还有一个用处，看下面这个图

看起来函数f(t)随t的增大逐渐收敛于0，用求极限运算符试试看：

没有能够得到数值结果，加上float也不好使......这是为什么呢？
据吧主说，原因是这样的：

事实证明，这样确实是可行的：

所以在MC15(M030)中，rewrite还可以充当救火员的作用。
希望下一个版本中，lim运算符可以解决这个问题。

(八)rectangular
作用：将复数表达式转换成“实部”+“虚部”的形式
例如
要注意复数单位"i"(或"j")的输入方式：
为了将复数单位与普通变量"i"、"j"区分开，用"1i"(或"1j")来表示复数单位，也就是一个"1"和一个"i"(或"j")连续输入，中间不需要乘号。