ds^2=dx^2+dy^2+dz^2实际上指的是
(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2
它可以看成
(Δs)^2=(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2
的无穷小版本。

默认求和了吧 没结果这种记法

换成dXμ和dXν来看就清楚了（前面再乘个克罗内克符）

楼主的问题让我想起了一个斯坦福大学的教授Brad Ogood在讲课时说的一句话：你愚蠢的数学老师会这样说……
学习要灵活～死搬硬套然后说什么“严格地来讲”——我认为这就是为什么Brad Osgood会说“愚蠢的数学老师”这句话，很有嘲讽滴赶脚～

如果认为dx是“无穷小”的线段，那么这个乘法就是内积，从而代表的是无穷小线段的长度，也就是线元。
但是如果希望严格地叙述，那么这里的乘积应该理解为张量乘积。Riemann度量是在切丛上定义的正定对称双线性型，从而是切空间上的双线性映射，在局部坐标之下，可以按照基底dx^i展开。这个才是严格的定义。至于为什么它恰好同“长度”重合——因为Riemann几何当然就是Euclidean几何的局部版本，所有的线性结构都可以参考Euclidean空间。

欧式空间线长你写的有点问题。应该是s方=x变化方+y变化方+z变化方。你纸上那种写法是默认s是相对原点的。

个人认为，在曲线坐标下还写成这种形式，只是为了保持与直线坐标下形式一致，真正的计算还要转换到直角坐标下运算。

ds^2=dx^2+dy^2+dz^2是直角坐标系弧长的微分公式，因此ds^2=求和(dx_i)^2=(dx_i)(dx_i)。(爱因斯坦求和约定)。g_lm为曲面第一基本型，即曲面的度量矩阵。