如何用无脑的方式解决一类三角有限求和问题

知乎的大神里已经有了比较初等和巧妙的方法，比如用韦达定理的，也有选择用留数硬干的

比如就来个注意到一个被积函数然后狠狠算留数，这样前摸不着头脑，后看不到屁股的过程

只可惜我是粗人，这种方法还是太废注意力了，而且也看不到思路的来源，所以没啥用

算求和对我来说第一思路重要的还是积分化，这是个很强大工具。比方说高斯的三角和就可以使用傅里叶变换连续化后进行求和

那么我们就得找，什么积分的积分结果会和三角函数直接有关系呢？答案还得是傅里叶变换

其实我们可以先看看csch(x)傅里叶变换公式，因为它和tanh有关系，接着我们只需要自变量取虚数之后就可以变成tan了

有些图发不出来，贴吧真是越来越差了

两边同时对a求导，积分和求导交换次序，轻松得到sec平方的积分表达式

对a换个元，csc平方的积分表达式也得出来了

接着我们要注意参数a的取值范围，所以要分开两部分求和

第一部分的求和里面只要用等比数列求和公式就可以

第二部分也是雷同，注意的是对级数换元后求和变成csc平方求和，这个也是最重要的一点

两部分合起来就是这个结果

用类似的方法还可以计算带对数的结果，只需要对一开始的csch(x)的傅里叶变换对参数a积分就得到带对数的积分式，后面的积分可以使用Laplace变换或者梅林变换设参数取极限来求都可以，用对数求和的结果取指数后还能得到三角有限乘积的表达