都建系了就别想太多
以BC中点为原点建系，用长度平方比代替长度比，求导能得到x=-5是极小值点

显然点A在平行于边BC的一条直线上运动，这直线与边BC所在直线的距离是4。不妨设点B(-6,0)、C(0,0)和A(a,4)，注意距离恒为正，我们欲求AB/AC的最小值，只需求(AB/AC)^2的最小值。
我们首先研究下式：
f(a)=((a+6)^2+4^2)/(a^2+4^2)
=1+(12*(a+3))/(a^2+16)
=1+12*x/((x-3)^2+16), x:=a+3
=1+12/(x+25/x-6)
到这里我们需要先做一个分析：当x=0时，点A在边BC的中点正上方，AB/AC=1；当x→-∞时，AB/AC→1。因此，AB/AC的最小值（同时也是极小值）一定在x<0一侧取得。
显然AB/AC的最小值是AC/AB的最大值，由对称性，这一定也是AB/AC的最大值，而这个最大值（同时也是极大值）是在x>0侧取得的。
从而我们由：
f(a)≤1+12/(2*√25-6)=4, iff a=2
就可以得到f(a)≥1/4，取等条件为a=-8。

代数法的话直接取BC中点建系算就行了，A在定直线上。
几何法的话就是考虑AB/AC＝k的最小值，看成阿波罗尼斯圆，也就是说AB/AC＝k时，BC延长线上的圆心O生成一个圆，和A所在的直线有交点，那么取最值时圆和直线相切，r＝4，找这种情况直接画图计算即可。

以b点为原点建系，A（x，4）B（0，0）C6，0） AB（根号不管了，求出来开根就行）＝x²+16，AC＝（x-6）²+16，令AB/AC＝y，则x²+16＝y（x²+52-12x），即：（y-1）x²+12yx+52y-16=0，显然方程有解则Δ≥0，即144y²-4（y-1）（52y-16）≥0，化简得4y²-17x+4≤0，求根公式得y＝1/4或4，则最小值是1/4，回代y可解出x的值@是流明哟

建系，B(0,0),A(x,4),C(6,0).√(x²+16)/√((x-6)²+16).直接算Δ就好了。

构造手拉手相似，再用定边定角得定圆求答案

阿氏圆吧

角B是直角的时候，AB=2，AB/AC为最小值

底乘高，bc固定了，过a做高，a的轨迹是一条线

这个换元对于正常高中生应该不算很难，试两三次就出来了，就是数字计算上稍微复杂了一点点，但其实对比正常考试难度也没高到多少，况且最后化简出来的数字不算太奇怪。
这题也可以直接拿导数直接解出极值点做，不过过程比较繁琐，如果没有提前推倒的话展开的式子会非常复杂。而且这种题目要是上导数的话，真的就是杀鸡用牛刀了，但如果各位吧U想要也可以拍给大家看看。